■上海音乐学院实验学校数学教师  董静静

    纵观近几年上海中考数学试题不难发现，综合题的重点都放在函数问题上。这类题的特点是起点不高、要求全面，常常以数与形、代数计算与几何证明、相似三角形和四边形的判定与性质、画图分析与列方程求解、勾股定理与函数、圆和三角比相结合的综合形式出现，考查初中数学中最重要的数学思想方法，如数形结合的思想和分类讨论的思想等。除此之外，这类综合题还融入了动态几何的变和不变，对给定的图形（或其中一部分）施行平移、翻折和旋转的位置变化，然后在新的图形中要求分析有关图形之间的关系，注重考查学生实验、猜想、证明的探索能力。这类综合题解题灵活多变，有一定难度，但上手还是相对比较容易；常以几个小问题形式出现，这种由浅入深的铺垫，提示了较宽的入口，有利于考生尤其是部分优秀考生正常乃至超常水平的发挥。

    数学综合题，最重要的是第24题和第25题。我们可将其分为函数型综合题和几何型综合题两大类型加以研究。

    ◆函数型综合题

    这类试题特点通常是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式，然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。

    初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，其所对应的图像是直线；②反比例函数，其所对应的图像是双曲线；③二次函数，其所对应的图像是抛物线。

    求已知函数的解析式，主要方法有待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标的基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题通常出现在第24题中，满分12分，一般有2～3道小题。

    ◆几何型综合题

    这类试题特点通常是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后由动点（或动线段）运动对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究。探索研究的一般类型有：①探索等腰三角形、直角三角形的成立条件；②研究菱形、梯形等特殊四边形；③探索两个三角形相似的满足条件；④探究线段之间的位置关系等；⑤探索面积之间满足一定关系求x的值等；⑥直线（圆）与圆相切时求自变量的值等。

    求未知函数解析式的关键，是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），将其变形写成y=f(x)的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y=f(x)的形式）。至于参数法，已超出初中数学的教学要求。

    寻求等量关系的途径，初中阶段主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似等。求定义域，主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。

    尽管这些探索题干变万化，但“万变不离其宗”，都少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题通常在第25题作为压轴题出现，满分14分，一般分3小题呈现。

    中考数学综合题启示我们，在进行综合思维的时候，要努力做到：数形结合记心头，大题小做来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。