上海市文来中学 谢小花

初中几何中有三大图形运动：平移、翻折、旋转，其中以翻折运动运用得比较广泛。近几年上海市初三的一模、二模、中考卷的填空第十八题的相关元素常有：基本图形，翻折运动（需要自己补充完图形），综合运用很多的知识点；而压轴题第25题也往往是以圆或梯形或特殊三角形为基本模型背景。

此类型题对学生来说难度很大，一是画图：如何根据题目基本准确地呈现翻折运动后的图形，特别是如果因为动点的原因可能形成分类讨论的情况，难度就会增加很多；二是能否发现翻折运动后线段之间满足的关系比如垂直或平行的位置关系、相等或平分的数量关系等，但如果画图误差太大，有些结论不明显，或者能推得的结论太多，学生会不知如何思考取舍；三是这类题型考查的知识点比较综合。

基于这种情况，笔者分别就《翻折与轴对称图形》、《矩形的翻折运动》等进行了一系列的专题教学，反馈效果不错。而在学生具备了“平行线的性质和判定”、“三角形的全等”、“特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的性质和判定”、“特殊的四边形（平行四边形与梯形）的性质和判定”这些知识储备时，就自然有了开设《梯形背景下的翻折问题》这个专题学习的想法，它既是翻折运动这一知识体系的延续，又为后续初三结合相似、三角比内容的《翻折运动》专题综合学习的一个必要准备。

教学目标：

1.能根据要求画出翻折后的示意图形；

2.能理解翻折后图形的形状、大小保持不变的性质以及折痕垂直平分对应点连线段的性质；

3.能运用翻折图形的特征解决相关的综合性问题。

教学重、难点：

1.会根据要求画出翻折后的示意图形；

2.能运用翻折图形的性质解决相关的问题。

教学难点：

能运用翻折图形的性质结合图形特征解决相关的问题。

教学过程：

一、概念梳理，温故知新

已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=15，AB=10。

问题一：如图：如果∠B=900，把△BCD沿着直线BC翻折，点D落在点E处，求四边形ABED的面积。

思考：

（1）如何确定E点？

（2）四边形ABED是否为特殊图形？

问题二：如图：如果∠B=60，BC边上有一点P，若△ABP沿着直线AP翻折，点B的对应点B'恰好落在AD边上，求BB'的长度。

思考：

（1）如何画出折痕AP；

（2）求BB'的长度。

【设计意图】由两个基础题型：“已知对称轴，作对称点”、“已知对称点，作对称轴”，让学生一是熟悉最基础的翻折作图；二是温故翻折图形的相关性质，作为图形运动问题所给的一个翻折的条件，实质上是间接给出了许多条件：对应边、对应角相等，及“对应点的连线段被对称轴垂直平分”的基本性质。基础知识的巩固，为第二部分的综合运用展开铺垫。

二、综合运用，拓展提升

问题三：如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AD//BC，AB=CD，翻折纸片ABCD，使点B与点D重合，折痕分别交AB、BC于点E、F。若AD=2，BC=8，DF⊥BC。

（1）求BF的长；

（2）联结AC，问：EF与AC具有怎样的位置关系？请证明你的结论。

问题四：如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=AD=10，∠B为锐角，∠C=450，，点P为BC边上的一个动点，联结AP，△ABP沿着直线AP翻折得到△AB'P，其中线段PB'与射线AD交于点Q。

（1）如果设BP=x，AQ=y，求出y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；

（2）是否存在x值，使得为直角三角形，如果存在，求AP的长度；如果不存在，请说明理由。

【设计意图】这两题是在近几年中考模拟题的基础上，根据课堂教学要求略微改编。其中不光有作图、翻折运动后的性质特点，还涉及直角三角形的勾股定理、梯形中常规的计算和辅助线的添助、分类讨论的数学思想等，是比较综合的一类题，希望以此为载体，引领学生分析、思考问题。

三、交流小结，自主内化

1. 根据条件画出图形；

2. 翻折图形的性质特征；

3. 综合梯形的性质。

【设计意图】通过学生自主小结旨在让学生从中内化以下知识点：

一是图形翻折运动后：对应点的连线段被对称轴垂直平分；有全等形（对应边、对应角相等）；存在角平分线；

二是解题方法归纳：先画示意图（已知对称轴画对应点或已知对应点画对称轴）；再标注条件及延伸条件（边、角）；最后综合运用（方法尝试勾股定理、后续相似或三角比）。

四、作业布置，分层提高

1. 已知：直角梯形ABCD中，AB/CD，AB=12，AD=8，CD=6，如果将梯形沿直线l翻折后，点A落在顶点C处，直线l分别与边AB、AD交于点M、N。

求：MN的长度。

2．已知：如图，在△ABC中，AB = AC，点M、N分别在边AB、AC上，且 MN⊥AC。将四边形BCNM沿直线MN翻折，点B、C的对应点分别是点B′、C′，如果四边形ABB′C′是平行四边形，

求：∠BAC的度数。

3．（选做）已知：矩形ABCD，AB=3，BC=4，点P是边AD上的一点，沿着直线BP翻折，点A的对应点为点A′，如果点A′到点B的距离等于它到CD边的距离，

求：AP的长度。

【设计意图】课堂的单位时间毕竟是有限的，对学生个体的关注也是受限制的，所以适当数量和难度的作业就非常有必要。它是课堂的延续和补充，更是一种有效的评价方式。本节课研究的是梯形背景下的翻折问题，但在作业设置中，除了有梯形背景，还有矩形和三角形，希望通过这一组题，让学生在解决问题的过程中明确方法是相通的，知识内化才能举一反三，灵活运用，从“形”变中发现不变的“本质”，当然考虑到学生的差异性，所以设置了选做题，让学有余力和希望自我挑战的学生能多点尝试。

本节课很好地达成了预设的教学目标，由两个基础题目的温故引入，到中等题的交流分享与归纳，再到综合题的分段理解，逐个突破。在这个过程中，能始终坚持学生为主体，教师为主导，关注各个层次学生的能力需求，尊重学生的交流概括，并适时补充归纳，也恰如其分地进行数学思想——方程思想、分类讨论等思想的渗透，让学生在学习的过程中经历如何有序、有效思考问题，并最终寻得解决方法。

在整个教案设计过程中，如果能把所有的问题（包括课后作业）都以题组的形式呈现，在条件增减的过程中，让学生展开思考，进行问题诊断、对比探究、归纳反思，那这个专题学习的效果应该会更好，我想这也是我今后教学工作中努力的方向，有效选题、编题，让课堂绽放更多的精彩。